La matemática y la búsqueda de patrones

Beautiful Seashells: Patterns, Shapes, Mathematics and Non-linearity 

Descrifrar patrones es necesario para la sobrevivencia. Reaccionamos con la intuición para enfrentar lo desconocido, pero la ciencia nos puede llevar más lejos.

Un suceso que ocurre una vez puede ser un accidente.  Si ocurre dos veces tal vez sea una  casualidad.  Pero cuando sucede tres veces o más, genera un patrón.

La ciencia estudia estos patrones para confirmar su veracidad y los resume en reglas.

En la matemática, por ejemplo, las reglas se describen en teoremas o proposiciones, como el Teorema de Pitágoras. En la física los patrones se sintetizan en leyes, como la conocida Ley de Gravitación Universal de Newton. También en la biología existen, por ejemplo, las leyes de Mendel, sobre la herencia de  padres a hijos.

En todos estos ámbitos del conocimiento humano, la matemática es fundamental para sintetizar los patrones y buscar las reglas más precisas que los representan.

Al final, la ciencia adoptará la explicación más simple y sintética, hasta que otra más sencilla y precisa la reemplace.

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC, 

con el respaldo de MICIT-CONICIT

Coordinación: Alejandra León Castellá 

Guión: Manuel Murillo Tsijli, TEC y UNED

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Mariana Rivera

 

Escuche el podcast: Patrones y la matemática

Los símbolos en la matemática

Los símbolos en la matemática tienen raíces históricas. Un buen ejemplo de esto es el nacimiento del signo “menos” para representar la resta de dos cantidades. Durante mucho tiempo, sobre todo en Europa, la resta se expresaba con la palabra latina MINUS.

Después pasó a usarse la letra inicial de esta palabra, la m, con una raya encima. Eventualmente desapareció la letra y solo sobrevivió la raya como el signo de la resta. Esto sucedió en los primeros años del Renacimiento.

Por esa misma época, el matemático y médico inglés Robert Recorde utilizaba por primera vez dos rayitas para representar el “igual”. Él pensó que dos rectas paralelas simbolizaban con fidelidad geométrica el concepto de igualdad.  La idea caló en la sociedad y se usa hasta el día de hoy.

El origen de muchos símbolos, como el de la raíz cuadrada, el “mayor que” y el “menor que”, entre otros, es interesante y va de la mano con el desarrollo del álgebra y el lenguaje matemático.

A lo largo de la historia, este lenguaje ha permitido compartir un código a nivel mundial y ser lo más sintético y preciso posible.

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC, 

con el respaldo de MICIT-CONICIT

Coordinación: Alejandra León Castellá 

Guión: Manuel Murillo Tsijli, TEC y UNED

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Mariana Rivera

 

Escuche el podcast: Símbolos matemáticos

Sistema de numeración de los Mayas

Imagen:http://primariaenred.edu.glogster.com/cuerpohumano/

Los mayas idearon un sistema de numeración para medir el paso del tiempo. Escogieron el número 20 como su base y desarrollaron calendarios compuestos por sus múltiplos. Uno de ellos, el Tzolkin o calendario sagrado tiene 260 días. O sea, 13 por 20 o trece veintenas. 

Hay muchas versiones sobre el origen del trece. Una de ellas lo atribuye al número de articulaciones en el cuerpo: tobillos, rodillas, caderas, muñecas, codos, hombros y cuello. En total: 13. 

Los mayas también utilizaban un calendario solar, el Haab. Este tenía 360 días oficiales, o sea 20 por 18. Como eran buenos observadores del cielo, sabían que el ciclo solar era más largo y tenían un mecanismo de ajuste muy versátil. Al final del año, añadían 5 o más días al calendario, los cuales consideraban “nefastos”. Así se ajustaban al ciclo solar sin alterar su sistema. 

Los mayas también desarrollaron el concepto del cero alrededor del año 36 a. C. Este fue el primer uso documentado del cero en América, aunque no se empleaba para hacer operaciones aritméticas.

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC,  con el respaldo de MICIT-CONICIT

Coordinación: Alejandra León Castellá 

Guión: Margot Martínez, Universidad Nacional

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Mariana Rivera

 

Escuche el podcast: Sistema de numerción maya

ENLACES RECOMENDADOS

El calendario de los Mayas
http://quhist.com/calendario-pueblo-maya/

Sistema de numeración maya y números mayas
http://sobrehistoria.com/sistema-de-numeracion-maya-y-numeros-mayas/

Hipatia de Alejandría

Imagen: blog.knosys.eu

Hipatia de Alejandría es la primera mujer matemática que menciona la historia. Vivió aproximadamente en el año 400 de la Era Moderna, en Egipto.

En ese entonces, la ciudad de Alejandría era el centro más importante del conocimiento humano.

Siendo hija del director de la Gran Biblioteca de Alejandría, tuvo acceso a un rico ambiente de aprendizaje y a los intelectuales de la época.

Hipatia se distinguió en los campos de la matemática y la astronomía. Trabajó junto a su padre en la preparación de textos para los alumnos. Fue una maestra dedicada y sus lecciones albergaron a estudiosos de diferentes clases sociales y de tierras lejanas. Lamentablemente, sus escritos no se conservan y solo se conoce de su obra a través de sus discípulos.

Entre otros aportes, Hipatia mejoró el diseño del astrolabio. Este instrumento permite determinar la posición de las estrellas y con ello estimar la posición de un barco en el mar.

De hecho, el astrolabio se utilizó hasta el siglo 18. Es decir, que Cristóbal Colón lo utilizó en su travesía a América.

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC,  con el respaldo de MICIT-CONICIT

Coordinación: Alejandra León Castellá 

Guión: Margot Martínez, Universidad Nacional

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Mariana Rivera

 

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Construcción de un astrolabio. Instituto Argentino de Radioastronomía

El Ágora de Hipatia Por Martín Bonfil Olivera

Rachel Weisz + Amenábar + Hipatia de Alejandría = Agora. Historiaclasica.com
La biografía de Hipatia de Alejandría (355- 415 dC) es uno de esos relatos que hacen que la historia clásica no sea un área de estudio sino una pasión.

Hexágonos en la naturaleza

¿Ha notado la presencia de hexágonos en la naturaleza? Un ejemplo clásico es el panal de abejas. También se encuentran en el tejido celular y en grupos de burbujas de similar tamaño.

Un círculo puede rodearse por seis círculos iguales, pero quedan espacios inútiles en medio de ellos. Si ejercemos presión sobre ese grupo de círculos para reducir el espacio total, los círculos compiten entre sí y eventualmente se transforman en hexágonos.

Lo mismo sucede con esferas o cilindros. La ventaja de este empaque es que los hexágonos terminan calzando unos junto a los otros, pared contra pared, sin espacios vacíos entre ellos. Esto significa una optimización del espacio, porque se usa la totalidad, sin dejar espacios muertos.

Las abejas no tienen que aprender a hacer hexágonos, están programadas genéticamente para hacerlos.

Los humanos, en cambio, las imitamos para generar mejores empaques y seguimos investigando combinaciones de figuras que generen estructuras más estables.

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC, 

con el respaldo de MICIT-CONICIT

Coordinación y guión: Alejandra León Castellá, CIENTEC,

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Mariana Rivera

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 Otros polígonos en la naturaleza

Competencia de sistemas numéricos

En el siglo 13 un mercader de Florencia viajó a la India con su hijo. El muchacho se interesó en la forma en que los locales hacían sus operaciones aritméticas.

Él había aprendido un método diferente en Europa. Pero definitivamente la forma en que lo hacían en India era mucho más eficiente. En pocos pasos se tenían los resultados de sumas y multiplicaciones. 

¿Qué era diferente y fascinante del nuevo sistema? La manera de representar los cantidades y las reglas para operar funciones.

No pasó mucho tiempo para que el joven florentino dominara esta ciencia de oriente. Al regreso a su tierra natal decidió mostrar esta forma de realizar cálculos. Convocó a los mejores calculistas del Mercado a una competencia que confirmó el triunfo del nuevo sistema.

Sin embargo, sus compatriotas creyeron que estas artes eran cosas del demonio y de paganos, y desestimaron el conocimiento.

El tiempo le dio la razón a Leonardo Fibonacci y en el transcurso de 50 años toda Europa utilizaba el sistema decimal. 

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC, 

con el respaldo de MICIT-CONICIT

Guión: Alberto Soto, UNED.

Coordinación: Alejandra León Castellá, CIENTEC,

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Mariana Rivera

Escuche el podcast: Competencia de sistemas numéricos

 

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Fibonacci: el hombre que introdujo la numeración árabe en Europa. Recuerdosdepandora.com

 

Fractales en la naturaleza

Imagen: http://amazingdata.com/earths-fractal-brain-from-above-pics/

Los fractales son estructuras geométricas especiales. Tienen fragmentos autosemejantes, o sea que se parecen a sí mismas, y se replican en diferentes tamaños.  

Se encuentran frecuentemente en las regiones de contacto entre dos sustancias, ya sea por desgaste o para favorecer el intercambio entre ellas.

Los bordes de las nubes son un ejemplo de estas formas, con su constante transformación. Moldeadeas por viento, temperatura y presión, absorben nuevas gotitas o las diluyen en el aire circundante. Así modifican sus perímetros, con formas que parecen copias de sí mismas, pero diez, cien o mil veces más grandes, o más pequeñas.

Vistas desde el espacio, las costas terrestres también presentan límites de tipo fractal, producto de la erosión con el agua.

   

Imagen: classes.yale.edu

En contraste, el sistema circulatorio humano potencia su función de distribución de nutrientes con su estructura fractal. Así multiplica el número de canales y ajusta sus dimensiones, para llegar a todos los rincones del cuerpo.

El acercamiento matemático a los fractales ha sido de gran utilidad para modelar estas estructuras complejas y apoyar el conocimiento de su función.

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC, 

con el respaldo de MICIT-CONICIT

Coordinación y guión: Alejandra León Castellá, CIENTEC,

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Gloriana Rodríguez

 

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Fractales en el aula, Seccción de Matemática, CIENTEC

 

Origen de los fractales

Los primeros fractales artificiales se generaron en el siglo XIX, pero pasó otro siglo antes de que recibieran ese nombre.

La observación de  complejos patrones en la naturaleza motivó al matemático Mandelbrot a investigar estas figuras. No las podía describir con la geometría euclídea tradicional. Las nubes no son esféricas, las montañas no son conos, ni los  rayos viajan en línea recta. Entonces desarrolló el concepto y lo denominó  "fractal",  por lo fragmentado de estas  estructuras que se replican a sí mismas en diferentes dimensiones.

Un ejemplo de un fractal es el brócoli. En este vegetal, la misma estructura se repite - casi- en 3 escalas diferentes. El brócoli completo, una ramita y una hoja tienen casi la misma forma, pero en diferentes tamaños.

Como resultado de la repetición de fragmentos, el perímetro del fractal crece. Esta característica permite  enfrentar desafíos espaciales. Por ejemplo: a los árboles les conviene extender su superficie al sol. Así pueden absorber su luz.

Aunque las simulaciones matemáticas pueden repetir fragmentos y dimensiones de manera infinita, la Naturaleza lo hace en forma limitada y con pequeñas deformaciones. 

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC, 

con el respaldo de MICIT-CONICIT

Coordinación y guión: Alejandra León Castellá, CIENTEC,

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Gloriana Rodríguez

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Fractales en el aula, Seccción de Matemática, CIENTEC

Una racha puede engañarnos

Suponga que tira una moneda 100 veces, y en algún momento, consigue siete escudos seguidos. ¿Se sentiría con suerte o dudaría de la racha? ¿O, tal vez, revisaría la moneda para asegurarse de que no ha sido alterada?

Pues, resulta que una moneda equilibrada puede caer siete veces seguidas del mismo lado.

Sin embargo, las personas tendemos a enlazar hechos que suceden en serie, aunque sean independientes, unos de otros. O sea, que después de un escudo, esperamos una corona, y así sucesivamente. Y ante un resultado repetitivo, pensamos que las probabilidades de un cambio aumentan.

Pero la moneda no tiene memoria. Cada vez que se tira tiene 50 por ciento de probabilidad de caer de un lado o del otro. Ese es el comportamiento aleatorio y azaroso, que se estudia con la estadística.

Como humanos, buscamos descifrar el mundo. Pero a veces vemos patrones donde no los hay: escapamos de un león imaginario.  De ahí la importancia del estudio de la estadística que recolecta, analiza e interpreta datos para ayudarnos a tomar decisiones.

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC, 

con el respaldo de MICIT-CONICIT

Coordinación: Alejandra León Castellá

Guión: Tim Erickson de Eeps.com

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Gloriana Rodríguez

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Teoría de los Cuatro Colores

Imagen de http://3tris3tigres.blogspot.com

¿Alguna vez usted se ha planteado el problema de colorear el mapa de América, de manera que los países contiguos posean diferente color?  

Claro, podría utilizar el mismo número de colores que los países existentes y el problema estaría resuelto. Sin embargo, si pensamos en una caja de lápices de color, veremos que éstas tienen entre ocho y dieciocho colores, pero América contiene aún más países. 

No obstante, es posible enfrentar este reto con solo 12 lápices, ¿se sorprende? ¿cuál cree usted que es el número mínimo de colores necesarios para pintar un mapa donde los países contiguos tengan diferente color? De hecho, son suficientes cuatro colores.

El problema planteado desde 1852 desveló a muchos matemáticos por más de un siglo. Aunque parece simple y hasta absurdo, lo trascendente fue que impulsó el desarrollo de la topología y la teoría de grafos, las cuales son fundamentales en el diseño de rutas óptimas. 

Hoy en día el diseño de las rutas de transporte, de redes de computadoras y de los sistemas de posicionamiento global, se basa en esta teoría. 

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC, 

con el respaldo de MICIT-CONICIT

Coordinación: Alejandra León Castellá

Guión: Alberto Soto, UNED.

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Gloriana Rodríguez

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Contar, orígenes en la pre-historia

Imagen de History-of-Numbers

La práctica de contar puede tener más de 10.000 años (más cerca de 20.000 años), según descubrimientos arqueológicos. En Zaire, Africa, se encontró un hueso fosilizado con dos cuentas en serie, una con veinticinco marcas y otra con treinta.

Otro hueso fosilizado de lobo, descubierto en la Europa oriental, muestra una secuencia de líneas organizadas en grupos de cinco, para hacer lo que hacemos hoy en día… contar de cinco en cinco.

Estas son evidencias del desarrollo ancentral del pensamiento matemático, paralelo al lenguaje, como estrategias para comprender ciclos y sobrevivir en colectividad. Como seres sociales, contar era fundamental para cuantificar: personas, animales y cosas, para distribuir alimentos, y hasta para negociar con otros; aunque inicialmente no se tenía el concepto de número.

El primer instrumento para contar y llevar registros fue el mismo cuerpo humano. En especial, los dedos de las manos y pies sirvieron de referentes para la memoria. De esta práctica surgieron, miles de años después, los sistemas numéricos de base cinco, el sistema decimal que usamos hoy, y el vigesimal, de base veinte, que usaron los Mayas.

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC, 

con el respaldo de MICIT-CONICIT

Coordinación y guión: Alejandra León Castellá, Fundación CIENTEC,

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Gloriana Rodríguez

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Informografía:

Smith, Sanderson. The Unknown Origin of Counting de Agnesi to Zeno. Over 100 Vignettes from the History of Math. Keycurriculum Press, 1996, ISBN 1-55953-107-X

PI

Pi Pie at Delft University

La letra griega Pi (π) se usa en la matemática para representar una constante muy especial. En la escuela la simplificamos con el valor de "3,14", aunque tiene un número infinito de dígitos después de la coma. 

Pi se obtiene al dividir la circunferencia de un círculo entre su diámetro. Tome un círculo cualquiera, como la tapa de un frasco o una alcantarilla,  y verá que el resultado es el mismo: 3,14159... y ahí siguen los decimales. Por ser un resultado constante, ha generado curiosidad y búsqueda de precisión, a través de la historia.

De Wikipedia

Alrededor de 1850 a.C., los egipcios se  aproximaron a Pi con el valor de 3,1605. También en las antiguas Grecia, India y China buscaron su valor exacto.  

Pi aparece donde menos se le espera. Estudiosos de la religión apuntan al Viejo Testamento donde, al describir las medidas del Templo del Rey Salomón, se deduce un valor de tres para pi.

En la actualidad, el valor de pi se calcula con varios millones de decimales y aún no se ha encontrado un patrón específico en la secuencia numérica decimal.  

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC, 

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Coordinación: Alejandra León Castellá 

Guión: Margot Martínez, Universidad Nacional

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Gloriana Rodríguez

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El origen del ajedrez

No se sabe con certeza cuál es el origen del ajedrez, sin embargo la más conocida de las leyendas habla de un rey que quiso premiar a su inventor.

Ante el ofrecimiento, el sabio pidió al rey suficiente trigo para distribuirlo sobre el tablero, de la siguiente manera. Pondría un grano en la primer casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así sucesivamente. De casilla en casilla se duplicaría la cantidad de granos de trigo hasta completar las 64 que forman el tablero.

El soberbio rey creyó que podía honrar el pedido, porque pensaba linealmente y no se había percatado del patrón de crecimiento exponencial que enfrentaba. Con este patrón, en pocos pasos, el número de granos era enorme, y habría requerído de siglos de cosechas para completar la cantidad correspondiente a las 64 casillas. De hecho, el trigo llenaría una caja cúbica de 7 kilómetros de lado. 

Cuenta la leyenda que el sabio utilizó la matemática para mostrarle al rey que la belleza del ajedrez no se compensa con ningún pago.

Esta es una producción de Radio Universidad de Costa Rica y CIENTEC, 

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Coordinación: Alejandra León Castellá 

Guión: Manuel Murillo Tsijli, TEC y UNED

Edición: Alejandro Portilla utilizando The Freesound Project

Locución: Gloriana Rodríguez

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The Rice And Chessboard Story